EGYBEVÁGÓSÁG, SÍKIDOMOK TULAJDONSÁGAI
Ebben a fejezetben rendszerezünk néhány régebbi ismeretet és új fogalmakkal, tételekkel ismerkedünk meg. Áttekintjük az egybevágóság fogalmát és a legismertebb síkidomok tulajdonságait.
Azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete is ponthalmaz, geometriai transzformációknak nevezzük. A transzformációkat több szempontból is csoportosíthatjuk: síkbeli transzformációkról beszélünk, ha a sík pontjaihoz a sík pontjait rendeljük hozzá, térbeli transzformációkról van szó, ha a tér pontjait a tér pontjaihoz rendeljük. Általában a síkbeli transzformációk tulajdonságainak vizsgálatával foglalkozunk, de egy-két esetben kimerészkedünk a térbe is. Amennyiben az egyes geometriai transzformációk közös tulajdonságait tartjuk szem előtt, eljuthatunk a két leggyakoribb transzformációcsoporthoz: az egybevágósági és a hasonlósági transzformációhoz.
Az egybevágósági transzformáció
Ha valamely transzformáció rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely szakasz képe egy ugyanolyan hosszú szakasz (távolságtartó transzformáció), akkor egybevágósági transzformációnak nevezzük. Korábbi tanulmányainkból ismerünk néhány konkrét (síkbeli) egybevágósági transzformációt: a tengelyes tükrözést, a középpontos tükrözést, az eltolást és a pont körüli forgatást. A felsorolt transzformációkat a 11. ábrán szemléltetjük.
Ezen transzformációk legfontosabb tulajdonságai a távolságtartás, illeszkedéstartás és a szögtartás. A tengelyes tükrözés megváltoztatja a körüljárási irányt, a többi felsorolt transzformáció megtartja.
Az egybevágósági transzformáció definíciójának közvetlen következménye, hogy néhány egybevágósági transzformáció egymásutánja (a transzformációk szorzata) is egybevágósági transzformáció.
Két ponthalmazt akkor tekintünk egybevágónak, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi. E definíció közvetlen alkalmazása sokszor hasznos, más esetekben viszont nehézkes, ezért megismerkedtünk néhány tétellel, amely megkönnyíti az egybevágó síkidomok vizsgálatát. Ilyen tételek a következők:
A háromszögek egybevágóságának alapesetei: két háromszög egybevágó, ha
A sokszögek egybevágóságával kapcsolatosan két állítást fogalmaztunk meg. Két sokszög egybevágó, ha
Érdemes még megjegyezni, hogy olyan síkidomok esetében, amelyek egyetlen hosszadattal jellemezhetők, az egybevágóság szükséges és elégséges feltétele e hosszadatok egyenlősége. Például egybevágó két azonos sugarú kör vagy két azonos paraméterű parabola.
A legismertebb speciális négyszögek definícióit elevenítjük fel.
Trapéz az a négyszög, amelynek van két párhuzamos oldala.
Deltoid az a négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő.
Paralelogramma az a négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.
Rombusz az a négyszög, amelynek oldalai egyenlők.
Téglalap az a négyszög, amelynek szögei egyenlők.
Négyzet az a négyszög, amelynek oldalai és szögei is egyenlők.
A későbbiekben (a körrel foglalkozó alfejezetben) újabb speciális négyszögekkel is találkozunk.
A 12. ábrán szemléltetjük a négyszögeket.
A paralelogramma tulajdonságai
A speciális négyszögek közül bizonyos értelemben a paralelogramma a legfontosabb, nagyon sok tétel bizonyítása közben használjuk fel e négyszög tulajdonságait. Az alábbiakban hat állítást sorolunk fel, amelyekből képet kaphatunk a paralelogramma legfontosabb tulajdonságairól.
Ha egy négyszög szemközti oldalai párhuzamosok, akkor a szemközti szögei egyenlők.
Ha egy négyszög szemközti szögei egyenlők, akkor bármely két szomszédos belső szögének összege 180°.
Ha egy négyszög bármely két szomszédos belső szögének összege 180°, akkor szemközti oldalai egyenlők.
Ha egy négyszög szemközti oldalai egyenlők, akkor valamelyik szemközti oldalpárja párhuzamos és egyenlő.
Ha egy négyszög valamelyik szemközti oldalpárja párhuzamos és egyenlő, akkor átlói felezik egymást.
Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor szemközti oldalai párhuzamosok.
Az alábbiakban áttekintjük a sokszögekre vonatkozó legfontosabb ismereteket.
Azokat a sokszögeket (alakzatokat) nevezzük konvexnek, amelyek bármely két pontjukkal együtt a két pontot összekötő szakasz minden pontját is tartalmazzák. A nem konvex sokszögeket konkávnak nevezzük. A konkáv sokszögeknek található két olyan pontja, hogy a sokszög nem tartalmazza az összekötő szakaszuk minden pontját. A 13. ábrán példákat láthatunk konvex (I; II), illetve konkáv (III; IV) sokszögekre.
Tételek
Az n-oldalú konvex sokszög bármely csúcsából 
átló húzható.
Az n-oldalú konvex sokszög összes átlóinak száma 
.
Az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege 
.
Az n-oldalú konkáv sokszögek belső szögeinek összege is 
.
A konvex sokszög külső szögeinek összege 360°. (A külső szögek összege független a sokszög oldalainak számától.)
A szabályos sokszög minden oldala és minden szöge egyenlő. A szabályos sokszögekbe és köréjük kör írható. A 14. ábrán egy szabályos ötszöget láthatunk a beírható és köré írható körével.
A síkon egy adott ponttól (középpont) adott távolságra levő pontok halmaza a kör.
Kör és egyenes, két kör viszonylagos helyzete
Egy kör és egy egyenes közös pontjainak a száma lehet 0, 1 vagy 2. Két közös pont esetén az egyenes a kör szelője, egy közös pont esetén az egyenes a kör érintője. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra (lásd a 15. ábrát).
Az e egyenes érintő, a g egyenes szelő, az f egyenesnek nincs közös pontja a körrel.
Példák
a) Szerkesszünk érintőt egy kör adott pontjába!
A szerkesztéshez felhasználjuk, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. A szerkesztés lépései: a kör középpontját összekötjük az adott ponttal, majd a kapott egyenesre az adott pontban merőlegest állítunk (a 15. ábrán az e egyenes).
b) Szerkesszünk érintőket egy adott körhöz egy adott külső pontból!
A 16. ábra jelöléseit használjuk: O a kör középpontja, P az adott külső pont. Megszerkesztjük az OP átmérőjű kört, amely az eredeti kört az E1 és E2 pontokban metszi.
Thalész tétele alapján az OPE1 és az OPE2 háromszögek derékszögűek, ezért az e1 és az e2 egyenesek merőlegesek az eredeti kör E1 és E2 pontjaiba húzott sugarakra, így a keresett érintőegyenesek e1 és e2.
Gyakran hivatkozunk a következő egyszerű tételre: külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők.
A bizonyítás során a 16. ábra jelöléseit használjuk. Az OPE1 és OPE2 háromszögek egybevágók mert egyenlő két oldaluk (OP közös oldal, OE1 és OE2 a kör sugarai) és a nagyobb oldallal szemközti szög (az OE1P és OE2P szögek derékszögek). Az egybevágóság miatt PE1 egyenlő PE2-vel.
Két kör viszonylagos helyzetét és közös pontjaik számát a középpontok távolsága és az egyes körök sugarai határozzák meg. A nagyobb (nem kisebb) sugarú kör sugarát R, a másik kör sugarát r, a középpontok távolságát d jelölje. A 17. ábrán azok az esetek láthatók, amikor a köröknek nincsen közös pontja.
Az A esetben a körök egymáson kívül helyezkednek el, ennek feltétele: d > R + r. A B esetben az egyik kör tartalmazza a másikat: d < R − r. A C egy fontos speciális eset: a két kör középpontja egybeesik, ilyenkor koncentrikus (egyközepű) körökről beszélünk: d = 0.
A 18. ábra érintkező köröket szemléltet, a két körnek egyetlen közös pontja van. Az A esetben a körök kívülről érintik egymást (d = R + r), a B esetben a kisebb kör belülről érinti a nagyobbat (d = R − r).
A 19. ábrán metsző köröket rajzoltunk, a közös pontok száma kettő: R − r < d < R + r.
Ha két körnek kettőnél több közös pontja van, akkor a körök egybeesnek.
Példa
Adott két egymáson kívül elhelyezkedő különböző sugarú kör. Szerkesszük meg a körök közös külső érintőit!
A 20. ábra jelöléseit használjuk: O1 és O2 az adott körök középpontjai.
Tekintsük megoldottnak a feladatot. f1, f2 legyenek a közös külső érintők, F1, F2, F3, F4 az érintési pontok. Az f1, f2 egyeneseket toljuk el önmagukkal párhuzamosan úgy, hogy képeik (e1 és e2) haladjanak át a kisebb kör O2 középpontján! Ekkor az e1 és f1, illetve az e2 és f2 egyenesek távolsága egyenlő a kisebb kör sugarával (r). Az F1 és F2 pontok eltolás utáni képei E1 és E2. Rajzoljunk az O1 pont körül egy R −r sugarú kört (R az eredeti O1 középpontú kör sugara)! Mivel a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, az e1 és e2 egyenesek éppen az O2 pontból az imént megrajzolt körhöz húzható érintők, E1 és E2 pedig az érintési pontok. Ha valamilyen módon meg tudjuk szerkeszteni az e1, e2 egyeneseket, akkor a felsorolt lépéseket visszafelé elvégezve megkaphatjuk az f1, f2 érintőket is. Ez a feladat szerencsére megoldható, sőt már meg is oldottuk egy
korábbi példában: az O1 középpontú, R − r sugarú körhöz kell érintőket szerkesztenünk az O2 pontból. Lássuk tehát a szerkesztés menetét: megrajzoljuk az O1 középpontú R − r sugarú kört, ehhez érintőket szerkesztünk az O2 pontból (e1 és e2 egyenesek), az e1, e2 egyeneseket rájuk merőlegesen r távolságra toljuk a megfelelő irányba (f1, f2).A példa kapcsán megjegyezzük, hogy gyakori feladat-megoldási módszer az ismeretlen probléma egy már ismert problémára való visszavezetése.
Feladatok
123. Négy szög együtt egyenesszöget alkot, továbbá mindegyik szög az előzőnél 10°-kal nagyobb. Mekkorák az egyes szögek külön-külön?
124. Hány fokos szöget zár be az óra nagy- és kismutatója a) negyed hétkor, b) fél tízkor?
125. a) Fejezzük ki fokokkal a kövtkező szögek nagyságát: 21°36’; 49°9’; 51°24’18’’!
b) Fejezzük ki fokokban percekben, másodpercekben a következő szögeket: 108,5°; 20,7°; 18,3°!
126. Mekkora az a szög, amely a mellékszögének ötödrésze?
127. Két szög szárai párhuzamosak, és az egyik 90°-kal nagyobb a másiknál. Határozzuk meg a szögek nagyságát!
128. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 16 cm, szárai 17 cm hosszúak. Mekkora az alaphoz tartozó magassága?
129. Egy 30°-os derékszögű háromszög hosszabbik befogója 6 m. Mekkora a másik befogó és az átfogó?
130. Mekkorák annak az egyenlő szárú háromszögnek a szárai, amelynek alapja 4 cm hosszú, az alapon fekvő szögei 45°-osak?
131. Egy egyenlő szárú trapéz alapjai 7 cm és 4 cm hosszúak, a szárai 2,5 cm-esek. Mekkora a trapéz magassága?
132. Milyen távol van a 4 cm sugarú kör középpontjától egy 5 cm hosszú húr?
133. Mekkora a kör sugara, ha benne egymástól 22 cm távolságra egy 40 cm-es és egy 48 cm-es párhuzamos húrpár helyezhető el?
134. Határozzuk meg az ábrán látható érintkező körök közül a legkisebb sugarát!
135. Egy háromszög egyik külső szöge 87°, egyik belső szöge 27°. Mekkorák a háromszög szögei?
136. Egy egyenlő szárú háromszög egyik külső szöge 87°. Határozzuk meg a háromszög szögeit!
137. Mutassuk meg, hogy egy háromszög külső szögei között legfeljebb egy hegyesszög lehet, de mindig van legalább két tompaszög!
138. Igazoljuk, hogy az egyenlő szárú háromszögben az alappal szemközti csúcsban szerkesztett külső szögfelező párhuzamos az alappal!
139. Az ABC háromszögben
a = 47°42’, b = 73°10’. Mekkora szöget zárnak be egymással az A és B csúcsokhoz tartozó a) szögfelezők, b) magasságvonalak?140. Hány átló húzható egy konvex 16-szög egyik csúcsából?
141. Hány oldalú a konvex sokszög ha az egy csúcsából kiinduló átlók 18 háromszögre bontják?
142. Egy konvex sokszög oldalainak és egy csúcsából kiinduló átlóinak szerkesztéséhez 17 szakaszra van szükség. Hány oldalú a sokszög?
143. Hány oldalú a konvex sokszög, ha hatszor annyi átlója van, mint oldala?
144. Hány oldalú az a sokszög, amelyben a szögösszeg 1620°?
145. Hogyan változik meg a sokszög szögeinek összege, ha oldalainak számát néggyel növeljük?
146. Melyik az a legkisebb oldalszámú konvex sokszög, amelynek a külső szögei között már biztosan van hegyesszög?
147. Egy háromszöget a középvonalai négy háromszögra bontanak, ezek kerületeinek összege 20 cm. Mekkora az eredeti háromszög kerülete?
148. Egy háromszög két szöge 62° és 43°. Mekkora szögekben látszanak az oldalak a) a beírt kör középpontjából, b) a magasságpontból?
149. Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik oldala, az oldalhoz tartozó magasság és a köré írt kör sugara!
150. Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik oldala és a másik két oldalhoz tartozó súlyvonalak harmada!
151. Igazoljuk, hogy a háromszög egyik oldalának végpontjai és a másik két oldalhoz tartozó magasságok talppontjai egy körön vannak!
152. Helyes-e a következő állítás: ha egy négyszögben két oldal párhuzamos, a másik kettő pedig egyneelő, akkor a négyszög paralelogramma?
153. Egy trapéz alapjai 20 cm, illetve 24 cm hosszúak. Milyen hosszú a szárak hosszabbik alaphoz legközelebb levő negyedelő pontjait összekötő szakasz?
154. Igazoljuk, hogy ha egy konvex négyszög nem trapéz, akkor az átlók felezőpontjai és egy pár szemközti oldal felezőpontjai egy paralelogramma csúcspontjai!
155. Mekkorák annak a rombusznak a szögei, amelynek tompaszögű csúcsából húzott magassága felezi a szemközti oldalt?
156 Mutassuk meg, hogy ha egy négyszög átlói egyenlő és merőlegesek egymásra, akkor a négyszög oldalfelező pontjai négyzetet alkotnak!
E témakörben olyan szögekkel fogunk találkozni, amelyek egy adott körhöz képest speciális helyzetűek.
Azokat a szögeket, amelyeknek mindkét szára a kör egy-egy sugara, középponti szögeknek nevezzük. Azokat a szögeket, amelyeknek csúcspontja a kör kerületére esik, egyik száruk a kör szelője, másik száruk pedig a kör szelője vagy érintője, kerületi szögeknek nevezzük. Érintőszárú kerületi szögről beszélünk, ha az egyik szögszár a kör érintője. Szokásos szóhasználattal élve a középponti, illetve kerületi szög ahhoz a körívhez tartozik vagy azon a köríven nyugszik, amely a szögtartományba esik. A 21. ábrán szemléltetjük a fentieket.
Mindhárom berajzolt szög a vastagított ibolyaszínű köríven nyugszik.
Tétel (a középponti és kerületi szögek tétele)
Egy körben az azonos íven nyugvó kerületi és középponti szögek aránya 1:2.
Bizonyítás
A bizonyítást négy részre bontjuk, az első három részben a nem érintőszárú kerületi szögekkel, a negyedik részben pedig az érintőszárú kerületi szögekkel foglalkozunk.
a) a kerületi és a középponti szög egyik szára egy egyenesre illeszkedik
A 22. ábra jelöléseit használjuk.
Az OA és OB szakaszok a kör sugarai, ezért egyenlők
Ţ az OBC és OCB szögek egyenlők. Az OBC háromszög O-nál levő külső szöge az AOB szög, ami egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével, ezért az AOB középponti szög kétszerese az ACB kerületi szögnek.b) a kör középpontja a kerületi szög szárai közé esik (23. ábra)
Kössük össze a C és O pontokat, az összekötő egyenes messe a kört a D pontban. A bizonyítás a) részében mondottak szerint a BOD középponti szög kétszerese a BCD kerületi szögnek, illetve a DOA középponti szög kétszerese a DCA kerületi szögnek. A BCD és DCA szögek összege a BCA szög, a BOD és a DOA szögek összege a BOA szög. Ebből adódóan a BOA középponti szög is kétszerese a BCA kerületi szögnek.
c) a kör középpontja a kerületi szög szögtartományának külső pontja (24. ábra)
Kössük össze a C és O pontokat, az összekötő egyenes messe a kört a D pontban. A bizonyítás a) részében mondottak szerint a BOD középponti szög kétszerese a BCD kerületi szögnek, illetve a DOA középponti szög kétszerese a DCA kerületi szögnek. A BCD és DCA szögek különbsége a BCA szög, a BOD és a DOA szögek különbsége a BOA szög. Ebből adódóan a BOA középponti szög is kétszerese a BCA kerületi szögnek.
d) érintőszárú kerületi szög (25. ábra)
A kör középpontjából bocsássunk merőlegest a kerületi szög AB szárára, ez a merőleges messe a kört a C pontban. Az AOB háromszög egyenlő szárú, ezért az OC egyenes felezi az AOB szöget. A COA és a BAD szögek merőleges szárú hegyesszögek, tehát egyenlők. Így az AOB középponti szög valóban kétszerese a BAD kerületi szögnek.
Az ismertetett bizonyítás
Bolyai Farkas magyar matematikustól származik.Az előző tétel közvetlen következménye a kerületi szögek tétele: egy körben az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlők (26. ábra).
Példák
a) Adott az AB szakasz. Keressünk a síkon olyan pontokat, amelyekből az AB szakasz 30°-os szögben látszik!
Az iménti tételek alapján sejtjük, hogy a kívánt tulajdonságú pontok két, az AB egyenesre szimmetrikus köríven helyezkednek el. Valóban, ha sikerül szerkesztenünk olyan kört, amelynek az AB húrja és a hozzá tartozó középponti szög 60°, akkor a hosszabb körív pontjaiból az AB szakasz 30°-os szögben látszik (27. ábra).
A szerkesztés menete: megszerkesztjük az ABO szabályos háromszöget, majd megrajzoljuk az O középpontú AO sugarú kört. E kör hosszabb AB íve, valamint ennek az ívnek az AB egyenesre vonatkozó tükörképe a keresett ponthalmaz (az A és B pontok nem tartoznak a halmazhoz). Felmerül a kérdés, hogy az említett körívek pontjain kívül vannak-e még hasonló tulajdonságú pontok. A választ a következő példában találjuk.
b) Oldjuk meg az előbbi feladatot általánosan is! Adott az AB szakasz és egy
a konvex szög. Mi azon pontok halmaza a síkon, amelyekből az AB szakasz a szögben látszik?
A 28. ábráról leolvasható, hogy az egyik AB ív pontjaiból
a szögben látszik az AB szakasz. E körívnek az AB egyenesre vonatkozó tükörképe is nyílván megfelelő. Megállapíthatjuk tehát, hogy az AB szakasz a szögben látszik két, az AB egyenesre szimmetrikus körív pontjaiból (látószög-körívek), kivéve az A és B pontokat.Azt állítjuk, hogy több ilyen tulajdonságú pont nem létezik. Tekintsük ugyanis a 29. ábrát!
Amennyiben egy P pont a látószög-köríven kívül van (bal oldali rajz):
a az ACP háromszög külső szöge, ezért nagyobb a nem mellette fekvő belső szögek bármelyikénél, azaz b -nál is.Ha egy P pont a látószög-köríven belül van (jobb oldali rajz): az előző gondolat alapján
b > a .Feladatok
157. Egy kerületi és a hozzá tartozó középponti szög összege 180°. Mekkorák ezek a szögek?
158. Egy pontból a körhöz húzott két érintő 67°-os szöget zár be. Mekkora szögben látszik az érintési pontokat összekötő húr a kör pontjaiból?
159. Szerkesszük meg azokat a pontokat, amelyekből egy adott szakasz 45°-os szögben látszik!
160. Szerkesszünk olyan pontot, amelyből egy adott háromszög oldalai ugyanakkora szögben látszanak!
161. Írjunk adott körbe háromszöget, ha ismert két szöge!
Két újabb speciális négyszöggel ismerkedünk meg.
Ha egy négyszög köré kör írható, akkor húrnégyszögről beszélünk (30/a ábra).
Azokat a négyszögeket, amelyekbe kör írható érintőnégyszögeknek nevezzük (30/b ábra).
A húrnégyszögek tétele
Egy négyszög akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.
Bizonyítás (31. ábra)
Húzzuk meg az ABCD húrnégyszög AC átlóját! Az A(D)C körívhez tartozó középponti szög legyen 2
a , az A(B)C körívhez tartozó középponti szög 360° − 2a . A kerületi és középponti szögek tétele alapján az ABC szög a , az ADC szög 180° − a , így a B és D csúcsoknál levő belső szögek összege 180°. Mivel a négyszög belső szögeinek összege 360°, a másik két szemközti szög összege is 180°.Igaz a húrnégyszögek tételének megfordítása is: ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180°, akkor a négyszög köré kör írható.
Bizonyítás (a 31. ábra jelöléseit használjuk)
Az ABCD négyszög B és D csúcsainál levő szögeinek összege legyen 180°. Rajzoljuk meg az ABC háromszög köré írható kört (az ábrán a kék színű kör). Azt fogjuk belátni, hogy a négyszög D csúcsa is erre a körre esik. A
látószög-körívről mondottak alapján azon pontok halmaza, amelyekből az AC átló 180° − a szögben látszik két, az AC átló egyenesére szimmetrikus körív. Ezen körívek egyike az ábrán látható (B-t nem tartalmazó) AC ív. Csak azt kell megmutatnunk, hogy a D pont nem lehet e körív AC-re vonatkozó tükörképén. Ezen utóbbi állítás abból következik, hogy ha D a tükörkép köríven lenne, akkor az ABCD négyszög konkáv lenne, ezért a B és D csúcsoknál levő szögeinek összege nem lehetne 180°.Az érintőnégyszögek tétele
Az érintőnégyszög szemközti oldalainak összege egyenlő.
Bizonyítás (32. ábra)
Az ABCD érintőnégyszög oldalain a beírható kör érintési pontjai E, F, G, H. Mivel a külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak, az ábrán azonos színnel jelölt szakaszok hossza megegyezik: AE = AH, BE = BF, CF = CG, DG = DH. Így a szemközti oldalak összege is egyenlő.
Az érintőnégyszögek tételének megfordítása (ha egy négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög) általában nem igaz, amint azt például egy konkáv deltoid mutatja. Kis módosítással azonban igaz tételhez jutunk: ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az a négyszög érintőnégyszög. Ezt a tételt itt nem bizonyítjuk be.
Feladatok
162. Egy húrnégyszög két szöge 54° és 100°. Mekkora a másik két szöge?
163. Igazoljuk, hogy a hegyesszögű háromszöget magasságvonalai három húrnégyszögre bontják!
164. Melyek azok a trapézok, amelyek húrnégyszögek?
165. Egy trapéz húrnégyszög is és érintőnégyszög is. Egyik alapja 7 cm, egyik szára 5 cm. Mekkora a beírható kör sugara?
166. Bizonyítsuk be, hogy egy érintőnégyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha a szemközti érintési pontokat összekötő szakaszok merőlegesek egymásra!
A területszámítással részletesen a 12. évfolyam anyagában foglalkozunk. Most a háromszög területére vonatkozó legismertebb összefüggésből kiindulva áttekintjük az ismert területszámítási eljárásokat, illetve megismerünk néhány új formulát.
Jelölje a háromszög oldalait a, b, c, a magasságokat ma, mb, mc, a beírható kör sugarát r, a háromszög területét T. (Lásd a 33. ábrát!)
A legismertebb területszámítási képlet: 
.
Amennyiben a háromszög kerületének felére bevezetjük az −
Eulertől származó −
jelölést, további képleteket kaphatunk.
A beírható kör sugara és a félkerület ismeretében a 
összefüggéssel számítható a terület, ugyanis az ABC háromszög területét felírhatjuk az ABO, BCO és CAO háromszögek területeinek összegeként: 
.
Gyakran csak a háromszög oldalait ismerjük. Ilyenkor használhatjuk az úgynevezett Hérón-képletet: 
.
A Hérón-képlet igazolásához tekintsük a 34. ábrát.
Az ABC háromszög A-ból induló magasságát jelölje m, a magasság talppontját T.
Pitagorasz tételének segítségével kifejezzük az m magasságot a háromszög a, b és c oldalainak segítségével, majd alkalmazzuk a jól ismert
képletet. Az ABT és ACT derékszögű háromszögekre felírva Pitagorasz tételét:
Az x-re kapott kifejezést a (2) egyenletbe visszahelyettesítve kifejezzük m2-et:
(Az átalakítások során felhasználtuk az a2−b2 = (a+b)(a−b) és az (a
± b)2=a2± 2ab+b2 nevezetes azonosságokat, valamint a 2s = a+b+c, 2(s−a)=b+c−a, 2(s−b)=a+c−b, 2(s−c)= a+b−c összefüggéseket.) Az ABC háromszög területe: 
Az általános négyszöget háromszögekre bontjuk, és a kapott háromszögek területeinek összege adja az eredeti négyszög területét.
Néhány speciális négyszög területe közvetlenül is számolható.
A télalap területe szomszédos oldalainak szorzata: T = ab (35. ábra).
Bontsuk két derékszögű háromszögre a téglalapot egyik átlója segítségével. E két háromszög területének összege a téglalap területe: 
A trapéz területe a 
képlettel számítható, ahol a és c a trapéz alapjai, m a trapéz magassága (36. ábra).
A trapéz egyik átlójának behúzásával két olyan háromszöget kapunk, amelyeknek alapjai a trapéz alapjai, az ezekhez tartozó magasságok pedig a trapéz magasságával egyenlők. A háromszögek területének összege a trapéz területe: 
A deltoid területét átlói szorzatának a fele adja: 
(37. ábra).
A deltoidot szimmetriaátlója két azonos magasságú háromszögre bontja. Ezek területének összege a deltoid területe: 
A négyzet területét a téglalaphoz, a trapézhoz vagy a deltoidhoz hasonlóan számíthatjuk. A paralelogramma területének meghatározása a trapézhoz hasonlóan, a rombusz területének meghatározása a deltoidhoz hasonlóan történhet.
Érdekességként megemlítjük, hogy a húrnégyszög területe a Hérón-képlettel analóg módon is meghatározható: 
, ahol a, b, c, d a húrnégyszög oldalai, s pedig a kerület fele.
A sokszögek területét általában úgy számítjuk ki, hogy olyan síkidomokra (többnyire háromszögekre) bontjuk őket, amelyeknek ki tudjuk számolni a területét.
Példaként fejezzük ki az a oldalú szabályos hatszög területét a segítségével!
A szabályos hatszöget hosszabb átlóival 6 darab egybevágó szabályos háromszögre bonthatjuk (38. ábra).
A kör területének meghatározása komolyabb matematikai ismereteket igényel, a középiskolai tananyagon túlmutat. Itt csak a jól ismert képletet elevenítjük fel: 
, ahol T jelöli a területet, r a kör sugara,
Feladatok
167. Mekkora a téglalap területe, ha átlója 13 m, egyik oldala 5 m?
168. Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz területét, ha alapjai 7 és 9, szárai 5 cm-esek!
169. Határozzuk meg annak a konvex négyszögnek a területét, amelynek átlói 8 és 12 cm-esek, és átlói merőlegesek!
170. Mekkora a háromszög területe, ha oldalai 5 cm, 6 cm, 9 cm hosszúak?
171. Határozzuk meg a háromszög legkisebb magasságát és beírható körének sugarár, ha oldalai 25 cm, 29 cm, 36 cm hosszúak!