Ebben a fejezetben néhány jól használható tételt bizonyítunk be a hasonlóság segítségével. Először a háromszögekkel foglalkozunk, majd a kör érintői és szelői közötti összefüggések következnek.

Minden háromszögre teljesül az úgynevezett szögfelező tétel:

A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.

Az ABC háromszög C-ből induló szögfelezője (f) a szemközti oldalt c₁ és c₂ hosszúságú részekre osztja. Húzzunk párhuzamost a háromszög B csúcsán át f-fel, ez az AC oldal meghosszabítását D-ben messe. A párhuzamosság miatt a j -vel jelölt szögek egyenlők. Így a BCD háromszög egyenlő szárú, azaz CD = a. Alkalmazzuk a párhuzamos szelők tételét a következő szereposztásban: AD és BD az adott egyenesek, f és BD a párhuzamos szelők. Máris írhatjuk, hogy , ami éppen a bizonyítandó állítás.

A derékszögű háromszögre vonatkozó egyszerű összefüggéseket vizsgálunk (49. ábra).

Az ABC derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága (m) az átfogót c₁, c₂ hosszúságú darabokra osztja. Ezeket a darabokat −szokásos szóhasználattal élve− az átfogó szeleteinek nevezzük. Az ábrán a -val jelölt szögek merőleges szárú hegyesszögek, ezért egyenlők. Az ABC, ACT és CBT háromszögek páronként hasonlók, mert két-két megfelelő szögük egyenlő (a és a derékszög), így megfelelő oldalaik aránya is egyenlő.

A két kisebb háromszög hasonlóságából: A kapott összefüggés a magasságtétel, szokásos megfogalmazásban: a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága mértani közepe az átfogó szeleteinek.

Most hasonlítsuk össze az eredeti háromszöget a BCT háromszöggel: Az eredeti és az ACT háromszögek hasonlóságából a összefüggés adódik. Az utóbbi eredményeket szavakkal megfogalmazva: a derékszögű háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének. Ez az állítás a befogótétel.

A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszokkal kapcsolatban két állítást fogalmazunk meg.

A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele:

Külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz mértani közepe a ponton áthaladó szelő szeleteinek (50. ábra).

A P külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz PE, a szelőszakaszok PA és PB. Az ábrán piros színű körívvel jelölt szakaszok a kisebbik EB ívhez tartozó kerületi szögek, ezért a kerületi szögek tétele alapján egyenlők. Az AEP és az EBP háromszögek hasonlók, mert megegyezik két megfelelő szögük, tehát megfelelő oldalaik aránya egyenlő: , ami éppen a bizonyítandó állítás.

A fent említett tételeken kívül még nagyon sok érdekes összefüggés bizonyítható a hasonlóság segítségével. A teljesség igénye nélkül felsorolunk néhányat.

A síkon azon pontok halmaza, amelyeknek egy szakasz két végpontjától való távolságaránya egy 1-től különböző állandó, kör (Apollóniosz-kör).

A háromszög magasságpontja, súlypontja és a háromszög köré írható kör középpontja egy egyenesre illeszkedik. A súlypont a másik két pont magasságponttól távolabbi harmadoló pontja. (Euler-egyenes).

A háromszög oldalainak felezőpontjai, magasságainak talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai egy körön vannak (Feuerbach-kör).

A húrnégyszög átlóinak szorzata egyenlő a szemközti oldalak szorzatai öszzegével (Ptolemaiosz tétele).

Feladatok

182. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, szárai 8 cm hosszúak. Mekkora részekre bontja a szárakat a hozzájuk tartozó magasság?

184. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 3:2. Az átfogó egyik szelete 2 cm-rel nagyobb a másiknál. Mekkora az átfogó?

186. Egy derékszögű háromszög átfogójának szeletei 4 cm és 12 cm. Mekkorák a befogók és az átfogóhoz tartozó magasság?

Megoldások 181-189