, mert 3ł 0 és 32=9,Négyzetre emeléskor egy számot önmagával szorzunk meg, ezért az eredmény soha sem lehet negatív: 02=0, 52=25, (−5)2=25, minden a valós számra teljesül az |a|
ł 0 összefüggés. A négyzetgyökvonás a négyzetre emelés fordított (inverz) művelete, ezért csak a nem negatív számok körében végezhető el. Egy nem negatív a valós szám négyzetgyökén azt a nem negatív valós számot értjük, amelynek a négyzete a. Példák:, mert 3ł 0 és 32=9,
, mert 0ł 0 és 02=0,
, mert 1,3ł 0 és 1,32=1,69,
nincs értelmezve, mert −16<0, nem létezik olyan valós szám, amelynek a négyzete negatív,
, mert x2ł 0 és (x2)2=x4,
, mert |a|ł 0 és |a|2=a2.
Felhívjuk a figyelmet egy gyakori félreértésre: az x2=4 egyenlet megoldása nem csak a 4 négyzetgyöke (a 2), hanem a 2 és a −2. Ugyanis azok a számok elégítik ki az x2=4 egyenletet, amelyeknek a négyzete 4. Másképpen: az x2=4 egyenlet az |x|=2 egyenlettel ekvivalens, ezért gyökei a 2 és a −2.
Korábbról ismerjük a négyzetre emelés és a négyzetgyökvonás függvényét. Az 1. és 2. ábrán ezek grafikonja látható.
A négyzetgyökvonás azonosságai
Megkönnyíti a négyzetgyökökkel való számolást, ha megjegyzünk néhány műveleti azonosságot:
I. 
, a
II. 
, a
III. 
, a
Példa a második azonosság alkalmazására: 
.
Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel
Oldjunk meg néhány feladatot a négyzetgyökvonás azonosságainak segítségével!
Példák:
A tanult azonosságok alkalmazásával elvégezzük az alábbi műveleteket:
a) 
b) 
c) 
Feladatok
Végezzük el a következő műveleteket!
1. 
, 
2. 
, 
, 
3. 
, 
Az alábbi feladatokban emeljük ki a négyzetgyök elé, amit lehet!
4. 
5. 
6. 
A négyzetgyökjel alá vitellel hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!
7. 
8. 
Végezzük el a következő műveleteket!
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
Speciális négyzetgyökökkel végzett művelet a tört számlálójának, vagy nevezőjének gyöktelenítése. Az alábbi néhány példában úgy alakítjuk át a törteket, hogy átalakítás után a nevezőben ne legyen gyökvonás kijelölve:
, a nevezővel bővítve értük el a kívánt eredményt.
, az (a+b)(a−b)=a2−b2 azonosságot alkalmazva bővítettük a törtet. Ha egy kéttagú összeg egyik tagjának megváltoztatjuk az előjelét, akkor a az így kapott kifejezést az eredeti kifejezés konjugáltjának nevezzük. Kéttagú nevező esetén mindig célra vezet a nevező konjugáltjával való bővítés.
Egy nehezebb példa:
Gyöktelenítsük a 
törtet!
Kétszeri bővítés (és sok számolás) után kaptuk meg a végeredményt.
Feladatok
Gyöktelenítsük az alábbi törtek nevezőjét!
18. 
19. 
20. 